miércoles, 13 de febrero de 2013

Curso sobre relatividad especial: 3ª parte.

3.-Transformación de Lorentz.


Los postulados de Einstein tienen importantes consecuencias cuando se quieren medir intervalos de tiempo y de espacio, o velocidades relativas. Ahora vamos a trabajar con un tratamiento matemático muy sencillo, que no entraña dificultad.

Vamos a utilizar dos sistemas de coordenadas rectangulares. El sistema S tiene su origen en O  y sus coordenadas son x,y,z. El sistema S' tiene su origen en O' y sus coordenadas son x', y',z'. S' se mueve a velocidad constante v con respecto a S, a lo largo del eje x , o lo que es lo mismo, S se mueve a velocidad constante -v con respecto a S'. 
 
Estos sistemas de referencia se ilustran en la imagen de la izquierda.

Ahora vamos a determinar la relación entre las coordenadas x,y,z de un suceso que ocurre en el tiempo t, y las coordenadas x',y',z', y el tiempo t' del mismo suceso visto desde el sistema de referencia S'. Para ello suponemos que cuando t=t'=0 los orígenes de ambos sistemas de referencia coinciden. En física clásica las coordenadas están relacionadas por el sistema de ecuaciones:


En la columna de izquierda tenemos las ecuaciones conocidas como Transformación de Galileo, y el columna de la derecha, la transformación inversa. Estas ecuaciones se cumplen siempre que v sea muy pequeña con respecto a c.


Pero en los cálculos relativistas no podemos utilizar las ecuaciones clásicas. ¿Cómo resolvemos este dilema? Vamos a modificar las ecuaciones de transformación clásicas para adaptarlas a los postulados de Einstein.

Supongamos que la ecuación de transformación relativista para x es la misma que para la ecuación clásica excepto por la presencia de un factor adicional en el segundo miembro, es decir:

                                                                       x = γ (x’ + vt’)

                                                                       x ’ = γ (x – vt)




γ es un factor que depende de la velocidad de la luz y de v, velocidad entre ambos sistemas de referencia. Vamos a ver qué valor es el que posee:

Consideremos un pulso luminoso que parte desde el origen de S en t=0. Suponemos que los orígenes son coincidentes en t=t'=0. Luego el pulso también parte en t'=0 en el sistema S'. En el sistema S, la coordenada x toma el valor x = ct, y en el sistema S', x'= ct'. Si sustituimos en las dos ecuaciones anteriores, obtenemos:

ct = γ (c + v) t'

ct' = γ (c - v) t


Si despejamos t' de la primera ecuación y  sustituimos en la segunda ese valor, despejando γ nos queda:


que es conocido como el factor de Lorentz.

De esta forma, las ecuaciones relativistas toman la forma:


Estas ecuaciones son conocidas como Transformación de Lorentz.

7 comentarios:

  1. ¿Pasa el tiempo para un fotón que a la velocidadde la luz?

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  2. ¿Pasa el tiempo para un fotón que viaja a la velocidad de la luz?
    Y si no es así,¿Por que un fotón que ha viajado desde el big bang es una microonda en lugar de ser visible?

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  3. El que un fotón pertenezca a la parte del espectro de los microondas o del visible, depende de su energía, no de su velocidad. Por ello, un fotón muy energético se moverá a frecuencias más altas y a longitudes de onda menores, siendo la frecuencia proporcional a la energía.

    En cuanto si pasa el tiempo para un fotón que se mueve a la velocidad de la luz, la respuesta no es sólo que no pasa tiempo, sino que tampoco lo hace la distancia. Es concepto es un poco complicado de entender y tiene que ver con la teoría espacio-temporal de Einstein, al estar relacionados el espacio y el tiempo.

    Un saludo!

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  4. Llevo varios dias sobrecogido , el hecho de que su cronómetro éste a cero ya me cuesta, pero que la distancia recorrida sea cero me supera o es que quisiste decir que es la distancia del fotón (su longitud) es cero o extraordinariamente pequeña. En cualquier caso lo que me intriga es si la energía del fotón desde quedó liberado hace 13 400 millones de años (cuando el universo se enfrió lo suficiente)ha decaído hasta la conocida radiación de fondo de microondas.MUCHAS GRACIAS VERÓNICA

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  5. Siento haber tardado tanto en responder. He estado unos días sin escribir en el blog.

    Las energías de los fotones liberadas en el Big Bang son precisamente las que encontramos en el fondo cósmico de microondas: es decir, el FCM es la energía residual de la explosión. Como una especie de eco que tenemos que estudiar si queremos comprender mejor el origen del Universo. Para ver fotones más energéticos nos tenemos que remtir a otros procesoso. Por ejemplo, las estrellas binarias pueden llegar a emitir rayos X cuando una de ellas le roba materia a la otra, o las supernovas, pueden generar rayos gamma con fotones muy energéticos.


    En cuanto al fotón, la distancia recorrida es cero desde su sistema de referencia. Un ejemplo sencillo. Una persona sentada en un tren no se mueve en su sistema de referencia. Está quieta. Pero tú, desde tu sistema de referencia en el andén, la ves moverse muy rápido.


    Un saludo!

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    1. Creo que ahora lo entiendo mejor.Gracias por acercar la física a los que no entendemos el lenguaje de las matemáticas. Eres estupenda.

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