miércoles, 31 de julio de 2013

La difracción de Fraunhofer

Figura 1: Difracción de Fraunhofer causada por una rendija rectangular. Crédito: Wikipedia

Básicamente cuando hablamos del fenómeno de difracción, nos estamos refiriendo a cuando una onda que se propaga encuentra un obstáculo. En concreto podemos encontrarnos con casos en los que la onda parte de una fuente distante y la observamos a otra distancia considerable, en cuyo caso podríamos hablar de la difracción de Fraunhofer (o de campo lejano), o cuando estas separaciones son menores, en cuyo caso hablaríamos de difracción de Fresnel (o de campo cercano).

Tal y como nos indica el principio de Huygens-Fresnel, cada punto del frente de onda podría considerarse una nueva fuente de trenes de ondas esféricos secundarios. Si la longitud de onda es amplia en comparación con la apertura u obstáculo, las ondas se extenderán según ángulos grandes en la región más allá del obstáculo, y por lo tanto obstrucciones pequeñas generarán ondas difractadas con frentes de curvatura menor. Además, a todo esto hay que sumarle que la propia interferencia entre los frentes secundarios pueden generar regiones de sombra.

En este post nos vamos a centrar en el caso de la difracción de Fraunhofer. Para que así ocurra este fenómeno es fundamental que se cumpla la siguiente condición:

Empecemos por lo más sencillo... una sola rendija


En el caso en el cual el frente de onda únicamente encuentra en su camino una rendija, y siempre suponiendo que usamos una fuente coherente, la ecuación de la irradiancia [1] en función del ángulo que se forma en la pantalla de observación respecto al eje central óptico, será:

En la siguiente figura -figura 2- se puede ver con más facilidad. En este gráfico se muestra un punto P de observación a una distancia R de la rendija.

Figura 2: Difracción Fraunhofer de una rendija
Como se puede ver fácilmente, esta irradiancia alcanzará unos máximos y mínimos en función del valor del parámetro beta, que está definido como:

Donde b es el ancho de la rendija. Estos mínimos ocurrirán en ángulos pi, 2 pi, 3 pi,... (tanto positivos como negativos, y expresados en radianes [2]). En concreto podemos establecer la siguiente relación para averiguar cuando la irradiancia alcanza un valor nulo:

De este modo, gráficamente tendríamos -figura 3-, representando en el eje ce abscisas (x) el valor de beta en radianes y en ordenadas (y) la irradiancia:

Figura 3: Caso de una rendija

A por la doble rendija....


Es similar al caso anterior, sin embargo en esta ocasión, al tener una doble rendija, dentro de las franjas de luz nos encontramos una nueva distribución de franjas oscuras. De este modo, el gráfico sería similar, pero incluyendo un nuevo patrón denominado término interferencial, y el cual aparece reflejado en la expresión para calcular la irradiancia como un nuevo parámetro, gamma:

Figura 4: Caso de dos rendijas
estando el valor gamma definido como:


En este caso d es la separación entre ambas rendijas. En la figura 4 se puede ver a la derecha. En rojo sería la denominada envolvente de difracción, mientras que en azul el término interferencial. Es interesante observar que hay puntos en los cuales puede coincidir un máximo interferencial con un mínimo de difracción. La relación mediante la cual podemos saber estos casos consiste en igualar los mínimos de beta (n veces pi) con los máximos de gamma (m veces pi). Así se puede sacar que el cociente m/n es igual al de d/b.

La abertura rectangular


Este caso es bastante atractivo: una "cruz" con franjas. Basta con observar el resultado en la figura 1 que encabeza este post, y que no se corresponde a la pantalla del protagonista de la serie "El coche fantástico". Básicamente podemos definir la perturbación que llega al punto P, y que ha atravesado una abertura rectangular (aquella en la que una dimensión espacial no es despreciable frente a la otra), como:
La nueva expresión para la irrandiancia será (donde alfa vale lo mismo que beta, pero mientras beta venía dado por el alto b, alfa cambia la b por a, que será el ancho):

La abertura circular y el señor Airy


Disco de Airy. Crédito: Wikipedia
La cosa se complica un poco más cuando de aberturas circulares hablamos... La expresión que define la irradiancia viene dada por:

que presenta una simetría axial -ver figura 5-, con un máximo central circular, denominado disco de Airy, y rodeado de anillos oscuros y brillantes alternos. En este caso J1 representa una función de Bessel, que para aquel que quiera profundizar, viene dada por:

Para el primer anillo podemos resolver la función de Bessel basándonos que J1(u)=0. Para obtener el valor existen tablas (por ejemplo puedes encontrar un pdf con sus valores en este enlace -ver página 4-). En nuestro caso vale 3,83. Así, podemos calcular el radio del disco de Airy como la distancia del centro hasta el primer anillo oscuro, quedando:

donde a es el radio de la abertura y R la separación de la pantalla de observación. Esta fórmula es muy conocida por todos aquellos que nos gustan los telescopios y tenemos que de vez en cuando colimarlos. Generalmente, dentro del disco de Airy se concentra un 84% de la luz, y al menos un 90% dentro del segundo anillo oscuro.

Referencias

- "Óptica" tercera edición. E. Hecht. Editorial Pearson Addison Wesley. 2000
- "Óptica". R.W. Ditchburn. Editorial Reverte. 1982
- "Óptica". A.V. Shepeliov. Editorial URSS. 2003
- "Óptica II". R. Annequin y J. Boutigny. Editorial Reverte. 1976
- "Calculus". Tom M. Apostol. Editorial Reverte. 1980

Notas

[1] La irradiacia se define como el flujo radiante total y en todas las direcciones recibido por unidad de superficie en un receptor.
[2] 2 pi radianes equivalen a 360º

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